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In this post, I review the book Partial Differential Equations in General Relativity, recently published by A.D. Rendall, in: Graduate Texts in Mathematics, vol. 16, Oxford University Press, 2008. I recommend it as an excellent source of inspiration for problems arising in general relativity. The text below has appeared in the “Gazette des Mathématiciens” of the SMF (Sociéte Française de Mathématiques) and is, therefore,… in French.

Ce livre est consacré aux aspects mathématiques de la relativité générale et en présente les développements les plus récents de manière concise. Il porte une attention particulière à la formulation des équations d’Einstein en un système hyperbolique symétrique avec contraintes couplé avec les équations d’évolution de la matière. Il est destiné aux étudiants de Mastère, tant mathématiciens que physiciens, mais sera aussi apprécié des spécialistes de la relativité générale.

Rappelons que l’inconnue principale de la théorie est une variété lorentzienne de dimension quatre, , satisfaisant aux équations

reliant le tenseur de courbure d’Einstein au tenseur de moment-énergie de la matière . Le scalaire représente la constante cosmologique de l’espace-temps, et les indices varient de à . (Par exemple, dans le vide le tenseur de courbure de Ricci d’une telle variété est identiquement nul.) Pour formuler le problème, on se donne une variété riemannienne de dimension trois munie d’un champ de -tenseurs symétriques . On cherche alors une variété lorentzienne (un développement maximal) satisfaisant aux équations d’Einstein avec la contrainte que est isométriquement plongée dans et admet comme deuxième forme fondamentale.

Les deux premiers chapitres présentent les bases incontournables de la relativité générale d’un point de vue à la fois physique et mathématique: notions de géométrie lorentzienne, théorèmes d’incomplétude de Penrose et de Hawking, feuilletages , et décompositions des équations d’Einstein.

L’auteur entre dans le vif de son sujet en mettant en parallèle différents modèles de matière: équations d’ondes pour les champs scalaires (à valeurs réelles ou à valeurs dans une variété), équations de Maxwell de l’électro\-magné\-tisme, équations de Yang-Mills, équations d’Euler des fluides compressibles et équation de Vlasov de la théorie cinétique des fluides raréfiés. Pour chacun de ces modèles, un Lagrangien détermine l’expression du tenseur de moment-énergie en fonction de la métrique lorentzienne et des variables physiques décrivant l’état de la matière.

Peu de résultats sont disponibles dans la littérature à ce niveau de généralité, et, le plus souvent, des hypothèses sur les symétries de l’espace-temps sont nécessaires. L’auteur introduit ici les espaces-temps admettant un ou plusieurs champs de Killing: statiques, stationnaires, spatialement homogènes, etc.

Il consacre ensuite un chapitre à l’étude des espaces spatialement homogènes pour lesquels les équations d’Einstein se réduisent à des équations différentielles non-linéaires. En dépit de leur simplicité apparente, ces modèles sont intéressants pour l’interprétation physique de la théorie. Par ailleurs, leur étude mathé\-matique est très délicate et fait appel à toutes les facettes de la théorie des équations différentielles: variété centrale, systèmes dynamiques, théorie des bifurcations, etc.

La deuxième moitié de l’ouvrage traite directement la résolution du problème de Cauchy pour les équations d’Einstein. L’auteur présente d’abord les résultats principaux d’existence sans hypothèse de symétrie; ceux-ci sont centrés sur le théorème de Christodoulou et de Klainerman (stabilité de l’espace-temps de Minkowski). Il explique aussi les techniques d’analyse (harmonique) intervenant dans les démonstrations. Les derniers chapitres concernent les modèles possédant deux champs de Killing et l’auteur étudie en détail l’existence globale des solutions des équations d’Einstein et la nature géométrique de leurs singularités, ce qui lui permet de déterminer le comportement asymptotique des espace-temps construits.

En conclusion, il s’agit d’un ouvrage particulièrement bien organisé et documenté, dont la lecture est vivement recommandéee et permet d’accéder à l’état de l’art sur le sujet.

Philippe G. LeFloch (Paris).